Question

已知矩陣A=

3 a 0 -1

，a∈R，若點(diǎn)P（2，-3）在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′（3，3）．
（1）則求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求矩陣A的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P（2，-3）在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′（3，3），利用二階矩陣與平面列向量的乘法可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）先求矩陣A的特征多項(xiàng)式f（λ），令f（λ）=0，從而可得矩陣A的特征值，進(jìn)而可求特征向量．

解答：解：（1）由

3 a 0 -1

2   -3

=

3   3

，∴6-3a=3⇒a=1．
（2）由（1）知A=

3 1 0 -1

，則矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

λ-3 -1 0 λ+1

=（λ-3）（λ+1）
令f（λ）=0，得矩陣A的特征值為-1與3．
當(dāng)λ=-1時(shí)，4x+y=0
∴矩陣A的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為

1   -4

；
當(dāng)λ=3時(shí)，y=0，
∴矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為

1   0

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二階矩陣與平面列向量的乘法，考查矩陣A的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量． 關(guān)鍵是寫(xiě)出特征多項(xiàng)式，從而求得特征值．