Question

以100元/件的價格購進一批羊毛衫，以高于進價的相同價格出售．羊毛衫的銷售有淡季與旺季之分．標價越高，購買人數越少．我們稱剛好無人購買時的最低標價為羊毛衫的最高價格．某商場經銷某品牌的羊毛衫，無論銷售淡季還是旺季，進貨價都是100/件．針對該品牌羊毛衫的市場調查顯示：
①購買該品牌羊毛衫的人數是標價的一次函數；
②該品牌羊毛衫銷售旺季的最高價格是淡季最高價格的倍；
③在銷售旺季，商場以140元/件價格銷售時能獲取最大利潤．
（I）分別求該品牌羊毛衫銷售旺季的最高價格與淡季最高價格；
（II）問：在淡季銷售時，商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為多少．

Answer 1

解：（I）設在旺季銷售時，羊毛衫的標價為x元/件，購買人數為kx+b（k＜0），
則旺季的最高價格為-元/件，利潤函
L（x）=（x-100）•（kx+b）=kx²-（100k-b）-100b，x∈[100，-]，
當x==50-時，L（x）最大，由題意知，50-=140，解得-=180，
即旺季的最高價格是180（元/件），則淡季的最高價格是180×=120（元/件）．
（II）現設淡季銷售時，羊毛衫的標價為t元/件，購買人數為mt+n（m＜0），
則淡季的最高價格為-=120（元/件），即n=-120m，
利潤函數L（t）=（t-100）•（mt+n）=（t-100）•（mt-120m）
=-m（t-100）•（120-t），t∈[100，120]．
∴t-100=120-t，即t=110時，L（t）為最大，
∴在淡季銷售時，商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為110元/件．
分析：（I）設在旺季銷售時，羊毛衫的標價為x元/件，購買人數為kx+b（k＜0），則旺季的最高價格為-元/件，從而求出利潤函，利用二次函數在閉區間[100，-]上求出最值即可求出所求；
（II）現設淡季銷售時，羊毛衫的標價為t元/件，購買人數為mt+n（m＜0），則淡季的最高價格為-=120（元/件），得m與n的關系，從而得到利潤函數L（t），求出最大值即可．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及二次函數在實際生活中的應用，解題的關鍵是理解題意，找到等量關系，屬于中檔題．