Question

如圖，OMN是半徑為2，圓心角為120°的扇形，ABCD是扇形的內接矩形．
（1）當

CN

=

1

4

MN

時，求CD的長．
（2）求矩形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

考點：扇形面積公式

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由題意可得，∠NOC=30°，由對稱性，可知，∠COE=30°，則△DOC為等腰三角形，且CD=OD，通過解直角三角形，即可得到；
（2）設∠COE=α，設OE交AD于E，交BC于F，顯然矩形ABCD關于OE對稱，而E，F均為AD，BC的中點，先把矩形的各個邊長用角α表示出來，進而表示出矩形的面積，再利用角α的范圍來求出矩形面積的最大值即可．

解答： 解：（1）當

CN

=

1

4

MN

時，即有∠NOC=30°，
由對稱性，可知，∠COE=30°，
則△DOC為等腰三角形，且CD=OD，
由等腰三角形的三線合一，則CDcos30°=1，
解得，CD=

2 3

3

；
（2）設∠COE=α，
設OE交AD于E，交BC于F，顯然矩形ABCD關于OE對稱，
而E，F均為AD，BC的中點，在Rt△OFC中，CF=2sinα，OF=2cosα．
則BC=AD=4sinα，OE=OF-EF=2cosα-CD，DE=OEtan60°=

3

OE=2sinα，
即有CD=2cosα-

2 3

3

sinα，
則矩形ABCD的面積S=CD•BC=（2cosα-

2 3

3

sinα）•4sinα
=8sinαcosα-

8 3

3

sin²α=4sin2α-

4 3

3

(1-cos2α)
=

8 3

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

4 3

3

=

8 3

3

sin（2α+

π

6

）-

4 3

3

，
當sin（2α+

π

6

）=1即α=

π

6

時，面積取得最大值，且為

4 3

3

．

點評：本題主要考查解三角形的有關知識在實際生活中的應用問題；解決這一類型題目的關鍵在與把文字語言轉化為數學表達式，最終利用數學知識解題．