Question

（2013•上海）甲廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求1≤x≤10），每小時可獲得的利潤是100（5x+1-

3

x

）元．
（1）要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；
（2）要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？并求此最大利潤．

Answer 1

分析：（1）求出生產該產品2小時獲得的利潤，建立不等式，即可求x的取值范圍；
（2）確定生產900千克該產品獲得的利潤函數，利用配方法，可求最大利潤．

解答：解：（1）生產該產品2小時獲得的利潤為100（5x+1-

3

x

）×2=200（5x+1-

3

x

）
根據題意，200（5x+1-

3

x

）≥3000，即5x²-14x-3≥0
∴x≥3或x≤-

1

5

∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；
（2）設利潤為 y元，則生產900千克該產品獲得的利潤為y=100（5x+1-

3

x

）×

900

x

=90000（-

3

x2

+

1

x

+5）=9×10⁴[-3(

1

x

-

1

6

)2+

61

12

]
∵1≤x≤10，∴x=6時，取得最大利潤為9×104×

61

12

=457500元
故甲廠應以6千克/小時的速度生產，可獲得最大利潤為457500元．

點評：本題考查函數模型的建立，考查解不等式，考查函數的最值，確定函數的模型是關鍵．