Question

（2013•上海）甲廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求1≤x≤10），每一小時可獲得的利潤是100（5x+1-

3

x

）元．
（1）求證：生產a千克該產品所獲得的利潤為100a（5+

1

x

-

3

x2

）元；
（2）要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？并求此最大利潤．

Answer 1

分析：（1）由題意可得生產a千克該產品所用的時間是

a

x

小時，由于每一小時可獲得的利潤是100（5x+1-

3

x

）元，即可得到生產a千克該產品所獲得的利潤；
（2）利用（1）的結論可得生產1千克所獲得的利潤為90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．進而得到生產900千克該產品獲得的利潤，利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）生產a千克該產品所用的時間是

a

x

小時，
∵每一小時可獲得的利潤是100（5x+1-

3

x

）元，∴獲得的利潤為100（5x+1-

3

x

）×

a

x

元．
因此生產a千克該產品所獲得的利潤為100a（5+

1

x

-

3

x2

）元．
（2）生產900千克該產品獲得的利潤為90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．
設f（x）=-

3

x2

+

1

x

+5，1≤x≤10．
則f（x）=-3(

1

x

-

1

6

)2+

1

12

+5，當且僅當x=6取得最大值．
故獲得最大利潤為90000×

61

12

=457500元．
因此甲廠應以6千克/小時的速度生產，可獲得最大利潤457500元．

點評：正確理解題意和熟練掌握二次函數的單調性是解題的關鍵．