Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分別為PC，CD的中點
（1）求證：平面ABE⊥平面BEF
（2）設PA=a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[ ， ]，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為原點，以AB，AD，AP為坐標軸建立空間直角坐標系，設PA=a，

則A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，2，0，），E（1，1， ），

∴ =（1，0，0）， =（0，1， ）， =（0，2，0），

∴ =0， =0，

∴AB⊥BE，AB⊥BF，又BE∩BF=B，

AB⊥平面BEF，又AB平面ABE，

∴平面ABE⊥平面BEF

（2）解：由（1）知 =（﹣1，2，0）， =（0，1， ），

設平面BDE的法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴ ，令z=1得 =（﹣a，﹣ ，1），

∵PA⊥平面ABCD，∴ =（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量，

∴cos＜ ＞= = ，

∵平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[ ， ]，

∴ ≤ ≤ ，

解得： ≤a≤ ．

【解析】（1）建立坐標系，設PA=a，求出各向量的坐標，利用數量積證明AB⊥BF，AB⊥BE，故而AB⊥平面BEF，于是平面ABE⊥平面BEF；（2）求出兩平面的法向量，計算法向量的夾角，根據二面角的范圍列不等式組解出a的范圍．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．