Question

如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點，且AC=BC，PC與⊙O所在的平面成45°角，E是PC中點，F為PB中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥面PAC；
（Ⅱ）求C-ABP的體積．

Answer 1

分析：（I）由線面垂直的性質可得PA⊥BC，從而可證BC⊥平面PAC，利用EF∥BC可證EF⊥平面PAC；
（II）證明∠ACP為PC與⊙O所在的平面成的角，求出AC，BC，PA，代入棱錐的體積公式計算．

解答：解：（I）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，
∴BC⊥AC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵E是PC中點，F為PB中點，
∴EF∥BC，
∴BC⊥平面PAC．
（II）∵PA⊥平面ABC，
∴AC為PC在平面ABC內的射影，
∴∠ACP為PC與⊙O所在的平面成的角，∠PCA=45°，
在△ABC中，AC=BC，AB=2，∠ACB=90°，
∴AC=

2

，
在△PAC中，∠PAC=45°，
∴PA=AC=

2

，
∴V_C-ABP=V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

=

2

3

．

點評：本題考查了線面垂直的性質與判定，考查了棱錐的體積計算，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力．