Question

17．已知$f（x）=sin（{x+\frac{π}{2}}），g（x）=cos（{x-\frac{π}{2}}）$，則下列結論中正確的是（　　）

• A． 函數f（x）的圖象向左平移π個單位長度可得到y=g（x）的函象
• B． 函數y=f（x）+g（x）的值域為[-2，2]
• C． 函數y=f（x）•g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上單調遞增
• D． 函數y=f（x）-g（x）的圖象關于點$（{\frac{π}{4}，0}）$對稱

Answer 1

分析 利用誘導公式可求f（x）=cosx，g（x）=sinx，利用三角函數恒等變換公式，三角函數的圖象和性質逐一分析各個選項即可得解．

解答 解：f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，
對于A，f（x+π）=cos（x+π）=-cosx，錯誤；
對于B，y=f（x）+g（x）=cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，錯誤；
對于C，y=f（x）•g（x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得單調遞增區間為：[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，錯誤；
對于D，y=f（x）-g（x）=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），令x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，當k=0時，x=$\frac{π}{4}$，故正確．
故選：D．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換，三角函數的圖象和性質的合理運用，解題時要認真審題，注意誘導公式、三角函數恒等變換的合理運用，屬于基礎題．