Question

已知函數(shù)（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當(dāng)x∈（r，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)r與a的值

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域中的x均成立，化簡(jiǎn)即m²x²-1=x²-1對(duì)定義域中的x均成立，解出m，并代入題目進(jìn)行檢驗(yàn)．
（2）將對(duì)數(shù)的真數(shù)進(jìn)行常數(shù)分離，先判斷真數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)底數(shù)的范圍確定整個(gè)對(duì)數(shù)式得單調(diào)性．
（3）由題意知，（r，a-2）?（-∞，-1）  或（r，a-2）?（1，+∞），
當(dāng)（r，a-2）?（-∞，-1），0＜a＜1，所以f（x）在（r，a-2）為增函數(shù)，，

當(dāng)（r，a-2）?（1，+∞），a＞3．所以f（x）在（r，a-2）為減函數(shù)，則．
解答：解：（1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域中的x均成立．
所以，
即，
即m²x²-1=x²-1對(duì)定義域中的x均成立．
所以m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．
（2）由（1）得，
設(shè)，
當(dāng)x₁＞x₂＞1時(shí)，，所以t₁＜t₂．
當(dāng)a＞1時(shí)，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．所以當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
所以①：r＜a-2＜-1，0＜a＜1．
所以f（x）在（r，a-2）為增函數(shù)，要使值域?yàn)椋?，+∞），
則（無(wú)解）
②：1＜r＜a-2，所以a＞3．所以f（x）在（r，a-2）為減函數(shù)，要使f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），
則
所以，r=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)的特殊點(diǎn)