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將正△ABC分割成n2(n≥2,n∈N)個(gè)全等的小正三 角形(圖1,圖2分別給出了n=2,3的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù),使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別依次成等差數(shù)列,若頂點(diǎn)A,B,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f(3)=________…,f(n)=________.

解:由題意可得,(各點(diǎn)放的數(shù)用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示)
當(dāng)n=2時(shí),根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,A+B=2D,A+C=2E,B+C=2F,且A+B+C=1
2(D+E+F)=2(A+B+C)=2,D+E+F=1
∴f(2)=2=
當(dāng)n=3時(shí),根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,A+B=D+E,A+C=I+H,B+C=F+G,且A+B+C=1
從而可得D+E+H+I+F+F=2(A+B+C)=2
同樣根據(jù)等差中項(xiàng)可得,M的數(shù)為
∴f(3)=3+==
同理可得,f(4)=5=
f(n)=
故答案為:



分析:根據(jù)等差中項(xiàng)法分別求解n=2,3,4時(shí)的值,由此歸納出f(n)的值即可.
點(diǎn)評(píng):本題目主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用等差中項(xiàng),進(jìn)行求解.考查了考試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將正△ABC分割成n2(n≥2,n∈N)個(gè)全等的小正三 角形(圖1,圖2分別給出了n=2,3的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù),使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別依次成等差數(shù)列,若頂點(diǎn)A,B,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f(3)=
 
…,f(n)=
 

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(2009湖南卷理)將正ABC分割成≥2,n∈N)個(gè)全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了n=2,3的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù),使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別一次成等差數(shù)列,若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f(3)=   ,…, 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將正⊿ABC分割成≥2,n∈N)個(gè)全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了n=2,3的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù),使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別一次成等差數(shù)列,若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f(3)=     ,…,f(n)=     

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將正⊿ABC分割成≥2,n∈N)個(gè)全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了n=2,3的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù),使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別一次成等差數(shù)列,若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f(3)= ,…,f(n)= (n+1)(n+2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)推理與證明專項(xiàng)訓(xùn)練(河北) 題型:解答題

將正△ABC分割成n2(n≥2,n∈N)個(gè)全等的小正三角形(圖乙,圖丙分別給出了n=2,3的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù),使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別成等差數(shù)列,若頂點(diǎn)A,B,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,求f(3)和f(n).

 

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