Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大�。�

Answer 1

【答案】解法一 （Ⅰ）設AB中點為D，AD中點為O，連接OC，OP，CD

因為AB=BC=CA，所以CD⊥AB，
因為∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD為等邊三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．
PO⊥平面ABC，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角
不妨設PA=2，則OD=1，OP= ，AB=4．
所以CD=2 ，OC= = =
在RT△OCP中，tan∠OCP= = = ．
故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan ．
（Ⅱ）過D作DE⊥AP于E，連接CE．

由已知，可得CD⊥平面PAB．根據三垂線定理知，CE⊥PA．所以∠CED為二面角
B﹣AP﹣C的平面角．由（Ⅰ）知，DE= ，在RT△CDE中，tan∠CED= = =2，故二面角B﹣AP﹣C的大小為arctan2．
解法二：（Ⅰ）設AB中點為D，連接CD．因為O在AB上，且O為P在平面ABC內的射影，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因為AB=BC=CA，所以CD⊥AB，設E為AC中點，則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB．
如圖，以O為坐標原點，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz．

不妨設PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP= ，
CD=2 ，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2 ，0），P（0，0， ），所以 =（﹣1，﹣2 ， ） =（0，0， ）為平面ABC的一個法向量．
設α為直線PC與平面ABC所成的角，則sinα= = = ．故直線PC與平面ABC所成的角大小為arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =（1，0， ）， =（2，2 ，0）．
設平面APC的一個法向量為 =（x，y，z），則由 得出 即 ，
取x=﹣ ，則y=1，z=1，所以 =（﹣ ，1，1）．設二面角B﹣AP﹣C的平面角為β，易知β為銳角．
而面ABP的一個法向量為 =（0，1，0），則cosβ= = = ．
故二面角B﹣AP﹣C的大小為arccos ．
【解析】解法一（Ⅰ）設AB中點為D，AD中點為O，連接OC，OP，CD．可以證出∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．不妨設PA=2，則OD=1，OP= ，AB=4．在RT△OCP中求解．（Ⅱ）以O為原點，建立空間直角坐標系，利用平面APC的一個法向量與面ABP的一個法向量求解． 解法二（Ⅰ）設AB中點為D，連接CD．以O為坐標原點，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz．利用 與平面ABC的一個法向量夾角求解．（Ⅱ）分別求出平面APC，平面ABP的一個法向量，利用兩法向量夾角求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關知識，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則，以及對用空間向量求直線與平面的夾角的理解，了解設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角的余角.即有：．