Question

定義在(－1，1)上的函數f(x)滿足①對任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f();②當x∈(－1,0)時，有f(x)>0.
求證:.

Answer 1

證明略

對f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,
再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),
∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函數.
設－1＜x₁＜x₂＜0,則f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=f(),
∵－1＜x₁＜x₂＜0,∴x₁－x₂＜0,1－x₁x₂>0 ∴＜0,
于是由②知f()?>0,
從而f(x₁)－f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),
故f(x)在x∈(－1,0)上是單調遞減函數.
根據奇函數的圖像關于原點對稱，知
f(x)在x∈(0,1)上仍是遞減函數，且f(x)＜0.