Question

已知函數f(x)=sin²x+2sinxcosx+3cos²x,x∈R，

求:（1）函數f(x)的最大值及取得最大值時自變量x的集合；

（2）函數f(x)的單調增區間.

Answer 1

解：（1）方法一：∵f(x)=+sin2x+

=2+sin2x+cos2x=2+sin(2x+),

∴當2x+=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z)時，f(x)取得最大值2+.

因此，f(x)取得最大值時自變量x的集合是{x|x=kπ+,k∈Z}.

方法二：∵f(x)=(sin²x+cos²x)+sin2x+2cos²x

=1+sin2x+1+cos2x=2+2sin(2x+),

∴當2x+=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z)時，f(x)取得最大值2+.

因此，f(x)取得最大值時自變量x的集合是{x|x=kπ+,k∈Z}.

（2）f(x)=2+sin(2x+),

由題意,得2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

因此，f(x)的單調增區間是［kπ-,kπ+］(k∈Z).