Question

（2012•黃山模擬）已知函數f(x)=ln2(1+x)，g(x)=

x2

1+x

．
（Ⅰ）分別求函數f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤

x2

1+x

；
（Ⅲ）對一個實數集合M，若存在實數s，使得M中任何數都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數列an=(1+

1

n

)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數的底數），求實數a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

，g′(x)=

x2+2x

(1+x)2

，則f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，由此能求出函數f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程．
（Ⅱ）令函數h(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，定義域是（-1，+∞），h′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，設u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則u'（x）=2ln（1+x）-2x，令v（x）=2ln（1+x）-2x，則v′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

，由此能夠證明ln2(1+x)≤

x2

1+x

．（Ⅲ）由題意可知不等式 (1+

1

n

)n+a≤e對任意的n∈N^*都成立，且不等式(1+

1

n

)n+a≤e等價于不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，由此能求出a的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

，g′(x)=

x2+2x

(1+x)2

，
則f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，
所以函數f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程都是y=0…（3分）
（Ⅱ）令函數h(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，定義域是（-1，+∞），h′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，
設u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，
則u'（x）=2ln（1+x）-2x，
令v（x）=2ln（1+x）-2x，則v′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

，
當-1＜x＜0時，v'（x）＞0，v（x）在（-1，0）上為增函數，
當x＞0時，v'（x）＜0，v（x）在（0，+∞）上為減函數．
所以v（x）在x=0處取得極大值，且就是最大值，而v（0）=0，
所以u'（x）≤0，函數u（x）在（-1，+∞）上為減函數…（5分）
于是當-1＜x＜0時，u（x）＞u（0）=0，當x＞0時，u（x）＜u（0）=0，
所以，當-1＜x＜0時，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數．
當x＞0時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數．
故h（x）在x=0處取得極大值，且就是最大值，而h（0）=0，
所以h（x）≤0，
即ln2(1+x)-

x2

1+x

≤0，ln2(1+x)≤

x2

1+x

…（8分）
（Ⅲ）由題意可知不等式 (1+

1

n

)n+a≤e對任意的n∈N^*都成立，
且不等式(1+

1

n

)n+a≤e等價于不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，
由1+

1

n

＞1知，a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，設F(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，
則F′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

…（10分）
由（Ⅱ）知，ln2(1+x)≤

x2

1+x

，
即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0，
所以F'（x）＜0，x∈（0，1]，
于是F（x）在（0，1]上為減函數．
故函數F（x）在（0，1]上的最小值為F(1)=

1

ln2

-1，
所以a的最大值為

1

ln2

-1…（13分）

點評：本題考查利用導數求曲線的切線方程，考查不等式的證明，考查實數的最大值的求法．考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．