Question

（2011•濟南二模）濟南市開展支教活動，有五名教師被隨機的分到A、B、C三個不同的鄉鎮中學，且每個鄉鎮中學至少一名教師，
（1）求甲乙兩名教師同時分到一個中學的概率；
（2）求A中學分到兩名教師的概率；
（3）設隨機變量X為這五名教師分到A中學的人數，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的基本事件總數

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

，滿足條件的事件是甲乙兩位教師同時分到一個中學有C₃²A₃³+C₃¹A₃³種結果，根據概率公式得到結果．
（2）本題是一個古典概型，基本事件總數

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

，滿足條件是事件是A中學分到兩名教師共有C₅²C₃²A₂²，得到結果．
（3）根據題意，得到變量的可能取值，結合變量對應的事件寫出變量的概率，根據變量和概率的值寫出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
設甲乙兩位教師同時分到一個中學為事件A，
基本事件總數

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

=150
滿足條件的事件數C₃²A₃³+C₃¹A₃³=36
∴P（A）=

36

150

=

6

25

（2）由題意知本題是一個古典概型，
基本事件總數

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

=150
滿足條件是事件是A中學分到兩名教師共有C₅²C₃²A₂²=60
∴根據古典概型概率公式知有P=

60

150

=

2

5

（3）由題知X取值1，2，3．
P（X=1）=

7

15

P（X=2）=

2

5

，
P（X=3）=

2

15

．
∴分布列為

X	1	2	3
P	7 15	2 5	2 15

∴期望值是EX=1×

7

15

+2×

2

5

+3×

2

15

=

5

3

點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．