Question

17．若函數f（x）=x⁴+2x³+4x²+cx的圖象關于直線x=m對稱，則f（x）的最小值是-$\frac{11}{16}$．

Answer 1

分析 根據函數f（x）=x⁴+2x³+4x²+cx的圖象關于直線x=m對稱，可得m=$\frac{1}{2}$，進而得到c=3，進而可得f（x）=x⁴+2x³+4x²+3x=（x²+x）（x²+x+3）=[（x²+x）+$\frac{3}{2}$]²-$\frac{9}{4}$，結合二次函數的圖象和性質，可得答案．

解答 解：一般地，四次函數f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）
=x⁴+（a+b+c+d）x³+mx²+nx+abcd的圖象，關于直線x=$\frac{1}{4}$（a+b+c+d）對稱，
故函數f（x）=x⁴+2x³+4x²+cx的圖象關于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，
由函數解析式的常數項為0，可得函數有一零點為0，
則-1也必為函數的一個零點，
故c=3，
∴函數f（x）=x⁴+2x³+4x²+3x=（x²+x）（x²+x+3）=[（x²+x）+$\frac{3}{2}$]²-$\frac{9}{4}$，
由x²+x≥$-\frac{1}{4}$得：當x²+x=$-\frac{1}{4}$，即x=-$\frac{1}{2}$時，函數取最小值-$\frac{11}{16}$，
故答案為：-$\frac{11}{16}$．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，函數的對稱性，函數的零點，函數的最值，難度中檔．