Question

【題目】已知函數（是非零實常數）滿足，且關于的方程的解集中恰有一個元素．

（1）求的值；

（2）在直角坐標系中，求定點到函數圖像上任意一點的距離的最小值；

（3）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=1；（2） ； （3）．

【解析】

（1）由和只有一個解，共同解得的值；

（2）由（1）可知，從而可得，通過換元令，，

再換元，通過二次函數求函數的最小值；

（3）不等式等價于恒成立，分三種情況討論，結合不等式恒成立問題可求得實數的取值范圍.

由條件可知，即，

，即恰有一個元素，

是非零實常數，

，解得：

代入，解得：

所以，；

（2） ，

設圖像上任意一點與定點的距離

令

則

令

當，即 ，即，解得：

此時的最小值是.

（3）

，

恒成立恒成立，

即，

（ⅰ）當時，即，恒成立，

即 ，即 ，

（ⅱ）當時，即 ，

同理可得 ，這與矛盾，

（ⅲ）當時，矛盾，

綜上可知：.