Question

已知橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸端點為（0，1），短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，若直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于不同的兩點A、B，且．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率及其標準方程；
（Ⅱ）求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知橢圓C為焦點在y軸上的橢圓，可設，由條件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的離心率和標準方程．
（Ⅱ）設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，由根的判別式和韋達定理知，由此能求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知橢圓C為焦點在y軸上的橢圓，
可設，
由條件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，
解得
故橢圓C的離心率為，
其標準方程為：
（Ⅱ）設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*），

∵
∴-x₁=3x₂，
∴
由此，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴
整理得4k²m²+2m²+k²-2=0，
，上式不成立；
，
因k≠0
∴，
∴
容易驗證k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（-1，-）∪（，1）
點評：本題考查橢圓的離心率及其標準方程，求實數m的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓合理進行等價轉化．