Question

已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在y軸上，離心率e=

2

2

該橢圓C與直線l：y=

2

x在第一象限交于F點，且直線l被橢圓C截得的弦長為2

3

，過F作傾斜角互補的兩直線FM，FN分別與橢圓C交于M，N兩點（F與M，N均不重合）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線MN的斜率為定值；
（Ⅲ）求三角形FMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知：e= c a = 2 2 ，c= 2 2 a，由此能求出橢圓C的方程． （Ⅱ）由F（1， 2 ），設kFM=k（k＞0），由直線FM與FN的傾斜角互補，知kFN=-k，直線FM：y=k（x1）+ 2 ，直線FN：y=-k（x-1）+ 2 ．由 y=k(x-1)+ 2 x2 2 + y2 4 =1 ，得(2+k2)x2+(2 2 k-2k2)x+k2-2 2 k-2=0，由F(1， 2 )是FM與橢圓的交點，知1為（*）的一個根，另一個根為xM，xM•1= k2-2 2 k-2 2+k2 ，yM=k（xM-1）+ 2 = - 2 k2-4k+2 2 k2+2 ，M（ k2+2 2 k-2 2+k2 ， - 2 k2+4k+2 2 k2+2 ），同理N（ k2+2 2 k-2 2+k2 ， - 2 k2+4k+2 2 k2+2 ），由此能求出直線MN的斜率為定值 2 ． （Ⅲ）設MN與y軸交點為（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），又kMN= 2 ，MN的方程為y= 2 x+b．由 y= 2 x+b x2 2 + y2 4 =1 ，得4x2+2 2 bx+b2-4=0．由△=(2 2 b)2-4×4(b2-4)＞0，得b2＜8，再由韋達定理和兩點間距離公式進行求解．

解答：解：（Ⅰ）由題設知：e= c a = 2 2 ，∴c= 2 2 a， ∵c2=a2-b2，∴ 1 2 a2=a2-b2， 即a2=2b2， 設所求的橢圓C的方程為 x2 b2 + y2 2b2 =1． 由 y= 2 x x2 b2 + y2 2b2 =1 ，得x2= b2 2 ，∴x=± 2 b 2 ，∴y=±b． ∴兩交點分別為（ 2 b 2 ，b），(- 2 b 2 ，-b)， ∴ (- 2 b 2 - 2 b 2 )2+(-b-b)2 =2 3 ， ∴b2=2，a2=4． ∴所求的橢圓C的方程為 x2 2 + y2 4 =1． （Ⅱ）由（1）知F（1， 2 ）， 設kFM=k（k＞0）， ∵直線FM與FN的傾斜角互補， ∴kFN=-k， ∴直線FM：y=k(x1)+ 2 ，直線FN：y=-k(x-1)+ 2 ． 由 y=k(x-1)+ 2 x2 2 + y2 4 =1 ，得(2+k2)x2+(2 2 k-2k2)x+k2-2 2 k-2=0（*）， ∵F(1， 2 )是FM與橢圓的交點， ∴1為（*）的一個根，另一個根為xM， ∴xM•1= k2-2 2 k-2 2+k2 ， ∴yM=k(xM-1)+ 2 = - 2 k2-4k+2 2 k2+2 ， ∴M( k2+2 2 k-2 2+k2 ， - 2 k2+4k+2 2 k2+2 )， 同理N( k2+2 2 k-2 2+k2 ， - 2 k2+4k+2 2 k2+2 )， ∴kMN= yM-yN xM-xN = 8k 4 2 k = 2 ． （Ⅲ）設MN與y軸交點為（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2）， 又kMN= 2 ， ∴MN的方程為y= 2 x+b． 由 y= 2 x+b x2 2 + y2 4 =1 ，得4x2+2 2 bx+b2-4=0． 由△=(2 2 b)2-4×4(b2-4)＞0，得b2＜8， ∵x1+x2=- 2 2 b，x1•x2= b2-4 4 ， ∴|MN|= 1+k2 • (x1+x2) 2-4x1x2 = 1+2 • b2 2 -(b2-4) = 3 • 4- b2 2 ． ∵kOF=kMN= 2 ， ∴OF∥MN， ∴F到MN的距離即為O到MN的距離b= |b| 3