Question

已知，．數列a_n滿足．
（Ⅰ）證明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）已知≥，證明：；
（Ⅲ）設T_n是數列a_n的前n項和，判斷T_n與n-3的大小，并說明理由．．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據得出下面用數學歸納法證明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
（Ⅱ）要證，即證，其中．
令.．利用導數研究在上的最值問題，先求出函數的極值，往往求出的極大值就是最大值，即可證得即；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知從而
∴．
結合放縮法即可證明得T_n＞n-3．
解答：解：（I）∵，
∴．
∴．
∴．（1分）
下面用數學歸納法證明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
①n=1時，，
故結論成立．
②假設n=k時結論成立，即．
∴，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1．
也就是說n=k+1時，結論也成立．
由①②可知，對一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．（4分）
（Ⅱ）要證，即證，其中．
令.．
由，得．（6分）

x
g'（x）	+		-
g（x）	↗	極大值	↘

又g（1）=0，．
∴當，g（x）＞0．
∴．
∴．
即．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
．（11分）
∴．
∴．（13分）
又，
即．
∴T_n＞n-3．（14分）
點評：本題考查數列與向量的綜合，解題時要注意公式有靈活運用．本題還考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，處理方法是當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．