Question

已知正項數列{a_n}滿足：a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

）（n∈N⁺）．
（1）求a₁的范圍，使得a_n+1＜a_n恒成立；
（2）若a₁=

3

2

，證明a_n＜1+

1

2n+1

（n∈N⁺，n≥2）；
（3）（理）若a₁=

3

2

，證明：

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

-n＜

2

+1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），得a_n+1-a_n=

1

2

（-a_n+

1

an

），根據a_n+1＜a_n，可得-a_n+

1

an

＜0，由此可求a₁的范圍；
（2）利用數學歸納法證明：若a₁=

3

2

，得1＜a₂=

13

12

＜1+

1

23

；假設n=k時成立，即a_k＜1+

1

2k+1

（k∈N₊，k≥2），構造函數f（x）=

1

2

(x+

1

x

)，易知f（x）在（1，+∞）上單調增，從而可知n=k+1時結論成立；
（3）由a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），可得

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

，構造函數g（x）=

1- 1 x2

，g（x）在（1，+∞）上單調遞增，從而可得

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

＜

2 2n+2+1

＜

1 2n

，由此可證結論．

解答：（1）解：由a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），得a_n+1-a_n=

1

2

（-a_n+

1

an

），
由a_n+1＜a_n，即-a_n+

1

an

＜0，
所以a_n＞1或a_n＜-1（舍）
所以a₁＞1時，a_n+1＜a_n．
（2）證明：若a₁=

3

2

，得1＜a₂=

13

12

＜1+

1

23

假設n=k時成立，即a_k＜1+

1

2k+1

（k∈N₊，k≥2）；
構造函數f（x）=

1

2

(x+

1

x

)，易知f（x）在（1，+∞）上單調增
則n=k+1時，a_k+1=f（a_k）＜f（1+

1

2k+1

）＜1+

1

2k+2

即a_k+1=f（a_k）＜1+

1

2k+2

由以上歸納可知a_n＜1+

1

2n+1

（n∈N₊，n≥2）；
（3）證明：由a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），得an=an+1+

an+12-1

∴

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

構造函數g（x）=

1- 1 x2

，g（x）在（1，+∞）上單調遞增
∴

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

＜

2 2n+2+1

＜

1 2n

∴

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

-n=（

a1

a2

-1）+（

a2

a3

-1）+（

a3

a4

-1）+…+（

an

an+1

-1）
＜

1 2

+

1 22

+…+

1 2n

=

1 2 [1- 1 2n ]

1- 1 2

＜

1 2

1- 1 2

=

2

+1
∴

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

-n＜

2

+1．

點評：本題考查數列遞推式，考查數學歸納法，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，綜合性強．