Question

如圖點O是邊長為1的等邊三角形ABC的邊BC中線AD上一點，且|AO|=2|OD|，過O的直線交邊AB于M，交邊AC于N，記∠AOM=θ，
（1）則θ的取值范圍為

[

π

3

，

2π

3

]

（2）

1

|OM|2

+

1

|ON|2

的最小值為

15

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，點O為等邊三角形ABC的重心，當點N與點C重合時，θ最小，由cosθ=

MO

AO

，可得θ的值．當M與B重合時，θ取得最大值，由于cos（π-θ）=

ON

AO

，可得θ的值，從而求得θ的取值范圍．
（2）先求得AO=

2

3

AD的值，設∠ANO=α，則∠AMO=

2π

3

-α．△ANO中，由正弦定理求得 ON=

3

6sinα

，同理求得 OM=

3

6Sin( 2π 3 -α)

，計算

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=12+6cos（2α+

π

3

）．由

π

3

≤

5π

6

-（

2π

3

-α）≤

2π

3

，求得α的范圍，利用余弦函數的定義域和值域求得12+6cos（2α+

π

3

） 的最小值．

解答：解：（1）由題意可得，點O為等邊三角形ABC的重心，
當點N與點C重合時，MN與AB垂直，M為AB的中點，OM取得最小值，
此時，θ最小，由cosθ=

MO

AO

=

1

2

，可得θ=

π

3

．
當M與B重合時，此時，MN垂直于AC，θ取得最大值，由于cos（π-θ）=

ON

AO

=

1

2

，可得θ=

2π

3

．
綜上可得，θ的取值范圍為[

π

3

，

2π

3

]．
（2）由題意可得，AO=

2

3

AD=

2

3

×

3

2

=

3

3

；設∠ANO=α，則∠AMO=

2π

3

-α．
△ANO中，由余弦定理可得

ON

sin30°

=

AO

sinα

，解得 ON=

3

6sinα

．
同理求得 OM=

3

6Sin( 2π 3 -α)

．
∴

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

36sin2( 2π 3 -α)

3

+

36sin2α

3

 
=12×

1-cos( 4π 3 -2α)

2

+12×

1-cos2α

2

=12-6[cos（

4π

3

-2α）+cos2α]
=12+6cos（2α+

π

3

）．
由（1）可得

π

3

≤

5π

6

-（

2π

3

-α）≤

2π

3

，可得

π

3

≤2α≤π，
∴

2π

3

≤2α+

π

3

≤π+

π

3

，
-1≤cos（2α+

π

3

）≤-

1

2

，故當2α+

π

3

=π 時，cos（2α+

π

3

） 取得最小值為-1，
12+6cos（2α+

π

3

） 取得最小值為 12-6=6，
故答案為 6．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，余弦函數的定義域和值域，屬于難題．