Question

已知棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，E為BC中點.
（1）求Ｂ到平面B₁ED距離
（2）求直線DC和平面B₁ED所成角的正弦值. (12分)

Answer 1

(1) d =；（2）sinα=。

試題分析：(1)求點到平面的距離，可利用體積法.可利用V _B1-ECD=V _C-B1DE.
(2)因為E為BC的中點，所以點C到平面B₁ED的距離等于點B到平面B₁ED的距離h，在（I）的基礎上可求出直線DC和平面B₁ED所成角.
(1)以Ａ為原點，ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ為x軸，y軸，z軸建立坐標系如圖．用向量法易求得Ｂ到平面B₁ED距離d =

（2）方法一：向量法略
方法二：解：在四面體B₁—DCE中，V _B1—ECD=V _C—B1DE，
則S_△B1DE·h _C—B1DE=S_△ECD·h _B1—ECD
而S _B1DE=a²,S_△ECD=,則h _C—B1DE=.
則sinα=
點評：利用四面體可換底的特性，求出點到平面的距離.求線面角如果直接找角不好找，可以象本題一樣轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解.