Question

【題目】已知拋物線的方程為： ，過點的一條直線與拋物線交于兩點，若拋物線在兩點的切線交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設直線的斜率存在，取為，取直線的斜率為，請驗證是否為定值？若是，計算出該值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）-2為定值．

【解析】（Ⅰ）由AB直線與拋物線交于兩點可知，直線AB不與x軸垂直，故可設，代入，

整理得： ，方程①的判別式，故時均滿足題目要求．

記交點坐標為，則為方程①的兩根，

故由韋達定理可知， ．

將拋物線方程轉(zhuǎn)化為，則，故A點處的切線方程為，

整理得，

同理可得，B點處的切線方程為，記兩條切線的交點，

聯(lián)立兩條切線的方程，解得點坐標為，

故點P的軌跡方程為，

（Ⅱ）當時， ，此時直線PQ即為y軸，與直線AB的夾角為．

當時，記直線PQ的斜率，又由于直線AB的斜率為，

為定值．