Question

7．已知橢圓的左焦點為F₁，有一小球A從F₁處以速度v開始沿直線運動，經橢圓壁反射（無論經過幾次反射速度大小始終保持不變，小球半徑忽略不計），若小球第一次回到F₁時，它所用的最長時間是最短時間的5倍，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得4a=10（a-c），由此即可求得橢圓的離心率．

解答 解：假設長軸在x軸，短軸在y軸，以下分為三種情況：
（1）球從F₁沿x軸向左直線運動，碰到左頂點必然原路反彈，這時第一次回到F₁路程是2（a-c）；
（2 ）球從F₁沿x軸向右直線運動，碰到右頂點必然原路反彈，這時第一次回到F₁路程是2（a+c）；
（3）球從F₁沿x軸斜向上（或向下）運動，碰到橢圓上的點A，反彈后經過橢圓的另一個焦點F₂，再彈到橢圓上一點B，經F₁反彈后經過點F₁，此時小球經過的路程是4a．
綜上所述，從點F₁沿直線出發，經橢圓壁反射后第一次回到點F₁時，小球經過的最大路程是4a最小路程是2（a-c）．
∴由題意可得4a=10（a-c），即6a=10c，得$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$．
∴橢圓的離心率為$\frac{3}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，明確橢圓上的點到左焦點距離最小的點是左頂點，距離最大的點是右頂點是關鍵，是基礎題．