Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大小；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；

（2）①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即．

（3）見解析.

【解析】(I)本小題的實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性極值，結(jié)合草圖，確定出直線y=k與函數(shù)y=f(x)的圖像有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，確定k的取值范圍.

(II)當(dāng)a=2時(shí)，可以采用作差法比較f(x)與1的大小，然后構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)區(qū)間最值，從而判斷它們之間的大小關(guān)系.

(III)解決本小題最佳途徑是利用(2)的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，  然后解本題的另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)判斷出,從而證明出.

另外也可以考慮數(shù)學(xué)歸納法.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域是，

， 令，得或．  …2分

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

   函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分

的極大值是，極小值是．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或．………5分

  （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071820593554438260/SYS201207182100264506921008_DA.files/image021.png">．

      令，

       ，

       在上是增函數(shù)．              ……………………7分

①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即．  …………………………………9分

（Ⅲ）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，    ． ……12分

，

．                ………………………14分

 （法二）當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．   …………………10分

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．

 時(shí)，．

根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

則有，即時(shí)命題也成立．………13分

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．                 ………………………14分

（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

．  ………………………………12分

，

又，，

．

．                …………………………………14分