Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A ( 

1

2

 ， 0 )，點(diǎn)B在直線(xiàn)l：x=-

1

2

上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)B與l垂直的直線(xiàn)和AB的中垂線(xiàn)相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是軌跡E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R，N在y軸上，圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知|MB|=|MA|，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，求出直線(xiàn)PR的方程，消去參數(shù)θ，得圓的一般方程，然后根據(jù)圓心（1，0）到直線(xiàn)PR的距離為1，建立等式關(guān)系，化簡(jiǎn)變形可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據(jù)求根公式求出b-c，而△PRN的面積為S=

1

2

( b-c )x0，最后利用基本不等式求出最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以A ( 

1

2

 ， 0 )為焦點(diǎn)，l：x=-

1

2

為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為y²=2x．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線(xiàn)PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由

x=1+cosθ y=sinθ

消去參數(shù)θ，得（x-1）²+y²=1．（6分）
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線(xiàn)PR的距離為1，即 

| y0-b+x0b |

( y0-b )2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化簡(jiǎn)上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據(jù)求根公式，
可得b-c=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．（10分）
故△PRN的面積為S=

1

2

( b-c )x0=

x 2 0

x0-2

=( x0-2 )+

4

x0-2

+4≥2

( x0-2 )• 4 x0-2

+4=8，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時(shí)成立．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )時(shí)，△PRN的面積取最小值8．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)，圓，拋物線(xiàn)，函數(shù)以及參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．