Question

【題目】設橢圓的方程為，點為坐標原點，點，的坐標分別為，，，直線的斜率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線交橢圓于，兩點，交軸于點，問是否存在實數使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）根據題意，設點的坐標為，可得，進而可得橢圓的方程；

（2）根據題意，設直線的方程為，聯立方程，通過韋達定理，假設存在實數，使得以為直徑的圓恒過點，即可得，利用向量數量積為，解得即可.

（1）設點的坐標為，，

，，又，，橢圓的方程為.

（2）依題意，設直線的方程為，代入，

得.

設，，則，.

假設存在實數，使得以為直徑的圓恒過點，則.

又，，

∴，

即，將，代入，整理得，解得，

即當時，存在實數使得以為直徑的圓恒過點.