Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為e=

2

，右焦點為f（c，0），方程ax²-bx-c=0的兩個實根分別為x₁和x₂，則點P（x₁，x₂）（　　）

• A、在圓x²+y²=8外
• B、在圓x²+y²=8上
• C、在圓x²+y²=8內
• D、不在圓x²+y²=8內

Answer 1

分析：由已知圓的方程找出圓心坐標與圓的半徑r，然后根據雙曲線的離心率公式找出c與a的關系，根據雙曲線的平方關系，把c與a的關系代入即可得到a等于b，然后根據韋達定理表示出兩根之和和兩根之積，利用兩點間的距離公式表示出點P與圓心的距離，把a，b及c的關系代入即可求出值，與圓的半徑比較大小即可判斷出點與圓的位置關系．

解答：解：由圓的方程x²+y²=8得到圓心O坐標為（0，0），圓的半徑r=2

2

，
又雙曲線的離心率為e=

c

a

=

2

，即c=

2

a，
則c²=2a²=a²+b²，即a²=b²，又a＞0，b＞0，得到a=b，
因為方程ax²-bx-c=0的兩個實根分別為x₁和x₂，所以x₁+x₂=

b

a

，x₁x₂=-

c

a

，
則|OP|=

x12+x22

=

(x1+x2) 2-2x1x2

=

( b a )2+ 2c a

=

1+ 2

＜r=2

2

，
所以點P在圓x²+y²=8內．
故選C

點評：此題考查學生掌握點與圓的位置關系的判別方法，靈活運用韋達定理及兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．