Question

知函數f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），g（x）=2sin²x．若函數y=f（x）的圖象與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為，且直線x=是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸．
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）求函數h（x）=f（x）+g（x）的單調遞增區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數y=f（x）的圖象與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為得函數的周期，求得ω．進而根據直線x=是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，求得sin（2•+φ）=±1，最后根據|φ|＜求得φ，函數的表達式可得．
（2）把f（x）和g（x）的表達式代入h（x）中，化簡整理可得函數h（x）的表達式，進而根據正弦函數的性質求得函數的單調遞增區間．
解答：解：（1）由函數y=f（x）的圖象與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為得函數周期為π，
∴w=2∵直線x=是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴sin（2•+φ）=±1，
φ=2kπ+或2kπ，（k∈Z），∵|φ|＜，
φ=．∴f（x）=sin（2x+）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=sin（2x+）+2sin²x=sin（2x-）+1
∵函數y=sin（2x-）的單調增區間是2kπ-≤2x-≤2kπ+，
∴函數h（x）的單調遞增區間為kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）．
點評：本題主要考查了函數的周期性及其三角函數的性質．屬基礎題．