Question

已知橢圓C的方程是（a＞b＞0），斜率為1的直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（Ⅰ）若橢圓的離心率，直線l過點M（b，0），且，求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過橢圓的右焦點F，設向量（λ＞0），若點P在橢圓C上，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用離心率求得a和b的關系，將直線l的方程代入到橢圓方程則可表示出A，B的坐標，利用推斷出cot∠AOB=-tan∠AOx=-，利用題設等式求得b，進而求得a，則橢圓的方程可得．
（2）將y=x-c代入到橢圓方程，進而表示出，進而根據表示出代入橢圓的方程求得λ的表達式，設橢圓的離心率為e，進而根據0＜e＜1求得λ的范圍．
解答：解：（1）∵，
∴，將直線l的方程y=x-b代入到橢圓方程x²+4y²=4b²中，
得．又，
∴cot∠AOB=-tan∠AOx=-，從而由，
得
∴b²=4，a²=16即橢圓的方程為：
（2）將y=x-c代入到橢圓方程，
得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0
，
故∴，
又點P在橢圓上，從而，
化簡得，設橢圓的離心率為e，
則0＜e＜1，且，故λ的取值范圍為
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生的基本的分析問題的能力和綜合運用所學知識的能力．