Question

（1）求右焦點坐標是（2，0），且經過點( -2 ， -

2

 )的橢圓的標準方程；
（2）已知橢圓C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．設斜率為k的直線l，交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M．證明：當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上．

Answer 1

分析：（1）求橢圓的方程關鍵是計算a²與b²的值，由焦點F（2，0）且經過點( -2 ， -

2

 )的橢圓的標準方程，構造方程組，解方程組即可求出a²與b²的值，代入即可得到橢圓的標準方程．
（2）本題的解答要用到“設而不求”的思想，即設出直線與橢圓兩交點的坐標，然后將直線方程代入橢圓的方程，利用韋達定理找出點橫、縱坐標和與積的關系，代入驗證．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
所以a²=b²+4，即橢圓的方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，
又點（-2，-

2

）在橢圓上，所以

4

b2+4

+

2

b2

=1，
解得b²=4或b²=-2（舍），
由此得a²=8，即橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1．、
（2）設直線l的方程為y=kx+m，與橢圓C的交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則有

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，
解得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，△＞0，所以m²＜b²+a²k²，即-

b2+a2k2

＜m＜

b2+a2k2

．
則x1+x2=-

2a2km

b2+a2k2

，y1+y2=kx1+m+kx2+m=

2b2m

b2+a2k2

，
所以AB中點M的坐標為(-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

)．
所以線段AB的中點M在過原點的直線b²x+a²ky=0上．

點評：運用待定系數法求橢圓標準方程，即設法建立關于a，b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時，
考慮是否兩解，有時為了解題需要，橢圓方程可設為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），由題目所給條件求出m，n即可．
也可根據條件構造方程（組）解方程（組）給出a²與b²的值，代入即可得到橢圓的標準方程．