Question

如圖，在三棱錐ABC－A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁＝A₁C＝AC＝2，AB＝BC且AB⊥BC，O為AC中點．

(1)求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值；

(2)在BC₁上是否存在一點E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖，因為，且O為AC的中點，所以平面平面，交線為，且平面，所以平面．　1分 　　以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．由題意可知，又 　　所以得：　3分 　　則有：　4分 　　設平面的一個法向量為，則有 　　， 　　令，得 　　所以．　5分 　　 　　因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余， 　　所以．　6分 　　(2)設 　　即，得　8分 　　所以得　10分 　　令平面，得， 　　即得即存在這樣的點E，E為的中點．　12分