Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D為A₁C₁的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段AA₁上，
(Ⅰ)AF為何值時(shí)，CF⊥平面B₁DF？
(Ⅱ)設(shè)AF=1，求平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ)因?yàn)橹比�棱柱ABC-A1B1C1中， BB1⊥面ABC，∠ABC=， 以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)锳C=2，∠ABC=90°，所以， 從而， ， 所以， 設(shè)AF=x，則， ， ， 所以， 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F， 由，得x=1或x=2， 故當(dāng)AF=1或2時(shí)，CF⊥平面B1DF。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABC的法向量為， 設(shè)平面B1CF的法向量為n=（x，y，z）， 則由，得， 令z=1得， 所以平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值 。