Question

設命題p：方程

x2

a+6

+

y2

a-7

=1表示雙曲線，命題q：圓x²+（y-1）²=9與圓（x-a）²+（y+1）²=16相交．若“￢p且q”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由于“￢p且q”為真命題，則￢p為真命題，q也為真命題，亦即p為假命題，q為真命題．由于方程

x2

a+6

+

y2

a-7

=1表示雙曲線，則（a+6）（a-7）＜0，所以p為假命題即是（a+6）（a-7）≥0；若q為真命題，則兩圓心距大于兩半徑差的絕對值小于兩半徑之和，故1＜

a2+4

＜7．求出它們的交集即可．

解答：解：若p真，即方程

x2

a+6

+

y2

a-7

=1表示雙曲線，
則（a+6）（a-7）＜0，∴-6＜a＜7．                
若q真，即圓x²+（y-1）²=9與圓（x-a）²+（y+1）²=16相交，
則1＜

a2+4

＜7，∴-3

5

＜a＜3

5

．                
若“?p且q”為真命題，則p假q真，
∴

a≤-6或a≥7 -3 5 ＜a＜3 5

，即-3

5

＜a≤-6，
∴符合條件的實數a的取值范圍是-3

5

＜a≤-6．

點評：本題考查的是與復合命題的真假判定有關的參數問題，解決的辦法是先判斷出組成復合命題的簡單命題的真假，再求出相應的參數的取值范圍即可；此類題是簡單邏輯用語的經典題型，要切實掌握好．