Question

設(shè)函數(shù)與數(shù)列滿足關(guān)系：(1)  a_1.>a, 其中a是方程的實(shí)根，(2) a_n+1=  ( nN⁺ )  ,如果的導(dǎo)數(shù)滿足0<<1

（1）證明： a_n>a  （2）試判斷a_n與a_n+1的大小，并證明結(jié)論。 

 

Answer 1

【答案】

對(duì)任意正整數(shù)n都有a _n> a _n+1 .

【解析】

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，由題設(shè)知a ₁> a成立。

假設(shè)n=k時(shí),   a _k> a成立   (k)，

由>0知增函數(shù)，則，

又由已知:  =a，

于是a _k+1> a ，即對(duì)n=k+1時(shí)也成立，

故 對(duì)任意正整數(shù)n,  a _n> a都成立。

解：(2)令則

      故為增函數(shù)

則 當(dāng)x> a時(shí),有

而

  即

由(1)知a _n> a          ()

故 對(duì)任意正整數(shù)n都有a _n> a _n+1 .