Question

袋中裝有大小相同的黑球、白球和紅球共10個，已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是

2

5

；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是

7

9

．
（1）求袋中各色球的個數；
（2）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望E（ξ）和方差D（ξ）；
（3）若η=aξ+b，Eη=11，Dη=21，試求出a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：黑球個數為=4，設白球的個數為y，所以可得：

C 2 y + C 1 y C 1 10-y

C 2 10

=

7

9

進而求出答案．
（2）由題設知ξ的所有取值是0，1，2，3，分別求出其發生的概率即可得到ξ的分布列，進而得到期望與方差．
（3）根據題意可得：Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a²Dξ，結合題意列方程組得：

3a 2 +b=11 7a2 12 =21

，即可求出a與b數值．

解答：解：（1）因為從袋中任意摸出1球得到黑球的概率是

2

5

，
設黑球個數為x，則：

x

10

=

2

5

解得：x=4…（1分）
設白球的個數為y，又從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是

7

9

，
則：

C 2 y + C 1 y C 1 10-y

C 2 10

=

7

9

解得：y=5…（3分）
所以 袋中白球5個，黑球4個，紅球1個      …（4分）
（2）由題設知ξ的所有取值是0，1，2，3，則：P(ξ=0)=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

P(ξ=1)=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

P(ξ=2)=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

P(ξ=3)=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

…（6分）
分布列表為：

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

…（7分）
所以Eξ=

1

12

×0+

5

12

×1+

5

12

×2+

1

12

×3=

3

2

，
所以Dξ=

1

2

×(0-

3

2

)2+

5

12

×(1-

3

2

)2+

5

12

×(2-

3

2

)2+

1

12

×(3-

3

2

)2=

7

12

．
（3）∵η=aξ+b
∴Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a²Dξ  …（10分）
又 Eη=11，Dη=21
所以

3a 2 +b=11 7a2 12 =21

               …（12分）
解得：

a=6 b=2

或

a=-6 b=20

即：所求a，b的值為

a=6 b=2

或

a=-6 b=20

…（14分）

點評：本題主要考查排列組合、概率等基礎知識，同時考查對立事件的概率與古典概型等問題，以及離散型隨機變量的期望與方差的公式，是一個綜合題．