Question

袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個，從中任取2個都是白球的概率為

5

12

．現甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1個球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球時終止．用X表示取球終止時取球的總次數．
（1）求袋中原有白球的個數；
（2）求隨機變量X的概率分布及數學期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率的應用問題，試驗發生包含的所有事件是從9個球中取2個球，共有C₉²種結果，而滿足條件的事件是從n個球中取2個，共有C_n²種結果，列出概率使它等于已知，解關于n的方程，舍去不合題意的結果．
（2）用X表示取球終止時取球的總次數，由題意知X的可能取值為1，2，3，4，結合變量對應的事件，用等可能事件的概率公式做出結果，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率的應用問題，
試驗發生包含的所有事件是從9個球中取2個球，共有C₉²種結果
而滿足條件的事件是從n個球中取2個，共有C_n²種結果
設袋中原有n個白球，則從9個球中任取2個球都是白球的概率為

C 2 n

C 2 9

，
由題意知

C 2 n

C 2 9

=

5

12

，即

n(n-1) 2

9×8 2

=

5

12

，
化簡得n²-n-30=0．
解得n=6或n=-5（舍去）
故袋中原有白球的個數為6．
（2）用X表示取球終止時取球的總次數，
由題意，X的可能取值為1，2，3，4．
P(X=1)=

6

9

=

2

3

；
P(X=2)=

3×6

9×8

=

1

4

；
P(X=3)=

3×2×6

9×8×7

=

1

14

；
P（X=4）=

3×2×1×6

9×8×7×6

=

1

84

．
∴取球次數X的概率分布列為：

∴所求數學期望為E（X）=1×

2

3

+2×

1

4

+3×

1

14

+4×

1

84

=

10

7

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一個綜合題，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，要引起注意．