Question

（2012•臨沂二模）已知

a

=(3

3

cosx，

2

cosx），

b

=(sinx，

2

cosx)，設函數f（x）=

a

•

b

+|

b

|2-

5

2

．
（Ⅰ）當x∈[

π

6

，

π

2

]時，求函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若α∈[

π

6

，

π

2

]且f（α）=

3

，求f（α-

π

12

）的值．

Answer 1

分析：由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則及模的計算法則列出f（x）的函數解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（Ⅰ）由x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可得出函數f（x）的值域；
（Ⅱ）由f（α）=

3

，將x=α代入函數解析式，得到sin（2α+

π

6

）的值，由α的范圍得到2α+

π

6

的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（2α+

π

6

）的值，將x=α-

π

12

代入函數解析式中，整理后將角度變形為（2α+

π

6

）-

π

6

，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，將求出的sin（2α+

π

6

）和cos（2α+

π

6

）的值代入，即可求出值．

解答：解：∵

a

=（3

3

cosx，

2

cosx），

b

=（sinx，

2

cosx），
∴f（x）=

a

•

b

+|

b

|²-

5

2

=3

3

cosxsinx+2cos²x+sin²x+2cos²x-

5

2

=

3 3

2

sin2x+3cos²x-

3

2

=

3 3

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

=3（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=3sin（2x+

π

6

），
（Ⅰ）當x∈[

π

6

，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-

3

2

≤3sin（2x+

π

6

）≤3，即函數f（x）的值域為[-

3

2

，3]；
（Ⅱ）∵f（α）=

3

，∴3sin（2α+

π

6

）=

3

，
∴sin（2α+

π

6

）=

3

3

，又α∈[

π

6

，

π

2

]，
∴2α+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，
∴cos（2α+

π

6

）=-

1-sin2(2α+ π 6 )

=-

6

3

，
∴f（α-

π

12

）=3sin[2（α-

π

12

）+

π

6

]=3sin2α
=3sin[（2α+

π

6

）-

π

6

]=3sin（2α+

π

6

）cos

π

6

-3cos（2α+

π

6

）sin

π

6

=3×

3

3

×

3

2

-3×（-

6

3

）×

1

2

=

3+ 6

2

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．