Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．
（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）當確定角θ的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）要證平面VAB⊥平面VCD，只需證明平面VAB內的直線AB，垂直平面VCD內的兩條相交直線CD、VC即可；
（Ⅱ）過點C在平面VCD內作CH⊥VD于H，說明∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角．求出，使得直線BC與平面VAB所成的角為．
法二：以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，
（Ⅰ） 建立如圖所示的空間直角坐標系，證明，，推出AB⊥平面VCD，即可證明平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）求出平面VAB的一個法向量，利用，求出使得直線BC與平面VAB所成的角為的θ的值．
解答：解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，
又D是AB的中點，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）過點C在平面VCD內作CH⊥VD于H，則由（1）知CH⊥平面VAB．連接BH，
于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角，依題意，所以
在Rt△CHD中，；
在Rt△BHC中，，
∴，
∵，∴，
故當時，
直線BC與平面VAB所成得角為．

解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，
于是，，，．
從而，即AB⊥CD．
同理，
即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．


（2）設平面VAB的一個法向量為n=（x，y，z）
則由，得
可取，
又，
于是=，
即，
∵，∴，
故當時，直線BC與平面VAB所成得角為．

解法3：（1）以點D為原點，以DC、DB所在的直線分別為x軸、y軸．
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），，，，，
于是，，．
從而，即AB⊥DC，
同理，即AB⊥DV．
又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）設平面VAB的一個法向量為n=（x，y，z），
則由得
取n=（tanθ，0，1），
又，于是，
即．
又∵，∴．
故當時，直線BC與平面VAB所成的角為．

點評：本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數學問題的能力