Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=45°．
（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（II）求異面直線VD和BC所成角的余弦．

Answer 1

分析：（I）根據線線垂直⇒線面垂直，再由線面垂直⇒面面垂直．
（II）通過作平行線，作出異面直線所成的角，再在三角形中求角．

解答：解：（Ⅰ）∵AC=BC=a，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中點，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC．AB?平面ABC，
∴VC⊥AB．∵VC∩CD=C，
∴AB⊥平面VCD．又AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ） 過點D在平面ABC內作DE∥BC交AC于E，
則∠VDE就是異面直線VD和BC所成的角．
在△ABC中，AB=

2

a⇒CD=

2

2

a，又∠VDC=450⇒VC=

2

2

a⇒VD=a；
∵BC⊥平面VAC，∴DE⊥平面VAC，∴△VDE為直角三角形，VD=a，DE=

1

2

a，VE=

a2 4 + a2 2

=

3

2

a
∴cos∠VDE=

VD2+DE2-VE2

2VD•DE

=

a2+ a2 4 - 3a2 4

2a• 1 2 a

=

1

2

∴異面直線VD和BC所成角的余弦

1

2

．

點評：本題考查面面垂直的判定及異面直線所成的角．求異面直線所成的角的步驟：1、作角（平行線）；2、證角（符合定義）；3、求角（解三角形）．