Question

在R上可導的函數f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，當x∈（0，1）時取得極大值．當x∈（1，2）時取得極小值，則

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

A．( 1 4 ，1)

B．( 1 2 ，1)

C．(- 1 2 ， 1 4 )

D．( 1 4 ， 1 2 )

Answer 1

∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，∴f′（x）=x²+ax+2b，
設x²+ax+2b=（x-x₁）（x-x₂），（x₁＜x₂）
則x₁+x₂=-a，x₁x₂=2b，
因為函數f（x）當x∈（0，1）時取得極大值，x∈（1，2）時取得極小值
∴0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2，-3＜a＜-1，0＜b＜1．∴-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2，
∴

1

4

＜

b-2

a-1

＜1，
故選A．