Question

在R上可導的函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，當x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取得極小值，則

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

• A．（-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ）
• B．（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• C．（

  1

  4

  ，1）
• D．（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，由當x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取得極小值列出關于a，b的不等式組，作出可行域，然后利用

b-2

a-1

的幾何意義求其取值范圍．

解答：解：由f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，得f′（x）=x²+ax+2b．
因為當x∈（0，1）時f（x）取得極大值，當x∈（1，2）時取得極小值．
則f′（x）在（0，1）內有一零點d，在（1，2）內有一零點e，即

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

，
可行域如圖，C（-3，1），

而

b-2

a-1

的幾何意義是可行域內動點（a，b）與定點M（1，2）連線斜率的取值范圍，
由圖可知，當直線過MC時斜率最小為
當直線過MA時斜率最大為
故選C．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，考查了數學轉化思想方法，訓練了“三個二次的結合”解答此題的關鍵是由題意得到關于a，b的不等式組，是中檔題．