Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁的中點．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求三棱錐B-A₁B₁D的體積．

Answer 1

分析：（1）取BC中點E，連接B₁E，證明BD⊥平面AEB₁，得BD⊥AB₁，由直線與平面垂直的判定定理，可得所證結論．
（2）連接B₁D，則三棱錐B-A₁B₁D的體積可以通過求三棱錐A₁-B₁DB的體積得到．

解答：（1）證明：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等可知：AB₁⊥A₁B
如圖，取BC的中點E，連接B₁E，則Rt△BCD≌Rt△B₁BE
∴∠BB₁E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB₁=∠BB₁E+∠BEB₁=90°
∴BD⊥B₁E
由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC₁B₁
∴AE⊥BD
∵B₁E?平面AEB₁，AE?平面AEB₁，AE∩B₁E=E
∴BD⊥平面AEB₁
∴BD⊥AB₁
∵A₁B?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，A₁B∩BD=B
∴AB₁⊥平面A₁BD
（2）解：連接B₁D，由AA₁∥平面BCC₁B₁
所以點A₁到平面BCC₁B₁的距離，等于AE=

AB2-BE2

=

22-12

=

3

S△BDB1=

1

2

S正方形BCC1B1=

1

2

×2×2=2
∴VB-A1B1D=VA1-BDB1=

1

3

×S△BDB1×AE=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

故三棱錐B-A₁B₁D的體積為

2 3

3

．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理、幾何體體積的求法，解題過程中要注意各種位置關系的相互轉化以及數量關系的求解．