Question

已知函數．
（1）化簡f（x）；
（2）已知常數ω＞0，若函數y=f（ωx）在區間上是增函數，求ω的取值范圍；
（3）若方程f（x）（sinx-1）+a=0有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角的余弦公式和平方差公式整理函數式，再合并同類型，點的三角函數的最簡形式．
（2）根據上一問做出的函數的解析式，代入自變量整理出函數式，根據正弦函數的單調性先寫出函數的單調區間，根據所給的單調區間，兩者進行比較，得到ω的取值范圍．
（3）原方程可化為2sin²x-sinx+a-1=0，換元令sinx=t，則問題轉化為方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]內有一解或兩解，根據解的情況寫出實根分布的充要條件，得到結果．
解答：解：（1）=（2+2sinx）sinx+1-2sin²x=2sinx+1（14分）
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1
由
∴f（ωx）的遞增區間為
∵f（ωx）在上是增函數
∴當k=0時，有
∴解得  
∴ω的取值范圍是（8分）
（3）解一：方程f（x）（sinx-1）+a=0即為（2sinx+1）（sinx-1）+a=0從而問題轉化為方程a=-2sin²x+sinx+1有解，只需a在函數y=-2sin²x+sinx+1的值域范圍內
∵
當；
當sinx=-1時，y_min=-2
∴實數a的取值范圍為（12分）
解二：原方程可化為2sin²x-sinx+a-1=0
令sinx=t，則問題轉化為方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]內有一解或兩解，
設g（t）=2t²-t+a-1，若方程在[-1，1]內有一個解，則解得-2≤a＜0
若方程在[-1，1]內有兩個解，則解得
∴實數a的取值范圍是[-2，]
點評：本題考查三角函數的化簡求值及一元二次方程的實根分布，本題解題的關鍵是整理出三角函數的解析式，熟練應用三角函數的公式來解題，本題是一個中檔題目．