Question

已知F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點，A是橢圓上一動點，圓C與F₁A的延長線、F₁F₂的延長線以及線段AF₂相切，若M（t，0）為一個切點，則（　　）

A．t=2

B．t＞2

C．t＜2

D．t與2的大小關系不確定

Answer 1

分析：由題意知，圓C是△AF₁F₂的旁切圓，點M是圓C與x軸的切點，設圓C與直線F₁A的延長線、AF₂分別相切于點P，Q，
則由切線的性質可知：AP=AQ，F₂Q=F₂M，F₁P=F₁M，由此能求出t的值．

解答：解：由題意知，圓C是△AF₁F₂的旁切圓，
點M是圓C與x軸的切點，
設圓C與直線F₁A的延長線、AF₂分別相切于點P，Q，
則由切線的性質可知：
AP=AQ，F₂Q=F₂M，F₁P=F₁M，
∴MF₂=QF₂=（AF₁+AF₂）-（AF₁+AQ）
=2a-AF₁-AP
=2a-F₁P
=2a-F₁M
∴MF₁+MF₂=2a，
∴t=a=2．
故選A．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．