Question

如圖，已知F₁，F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且橢圓C的離心率e=

1

2

，F₁也是拋物線C₁：y2=-4x的焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F₂的直線l交橢圓C于D，E兩點，且2

DF2

=

F2E

，點E關于x軸的對稱點為G，求直線GD的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意得拋物線C₁的焦點坐標，從而列出關于a，c的等式解之即得a，c，再根據a，b，c的關系求出b值，最后寫出橢圓C的方程；
（II）當直線l的斜率不存在時，不符合題意，故可設直線l：y=k（x-1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標公式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）因為拋物線C₁的焦點是F₁（-1，0），
則

c=1 c a = 1 2

，得a=2，則b=

3

，
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（II）當直線l的斜率不存在時，不符合題意，
故可設直線l：y=k（x-1），設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2

DF2

=

F2E

，則：

2(1-x1)=x2-1 -2y1=y2

，得（

1

4

+

k2

3

）x²-

2

3

k²x+

k2

3

-1=0，
則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，②
將x₂=3-2x₁代入①②，得：
3-x₁=

8k2

3+4k2

，…③3x₁-2x

2 1

=

4k2-12

3+4k2

，…④
由③、④得k=±

5

2

，
x₁=

4k2+9

3+4k2

=

7

4

，x₂=3-2x₁=-

1

2

，…（10分）
（i）若k=-

5

2

時，y₁=-

3 5

8

，
y₂=-

5

2

（-

1

2

-1）=

3 5

4

，
即G（-

1

2

，-

3 5

4

），D（

7

4

，-

3 5

8

），kGD=

- 3 5 8 + 3 5 4

7 4 + 1 2

=

5

6

，
直線GD的方程是y+

3 5

4

=

5

6

（x+

1

2

）；
（ii）當k=

5

2

時，同理可求直線GD的方程是
y-

3 5

4

=-

5

6

（x+

1

2

）；…（12分）

點評：本題考查橢圓方程和求法和直線方程的求法，解題時要認真審題，注意拋物線的性質及向量公式的靈活運用，注意合理地進行等介轉化．