Question

已知p：

x-5

x-3

≥2，q：x2-ax≤x-a，若?q是?p的必要而不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：若p真，解分式不等式求出集合A，若q真，解一元二次不等式求出B，由條件推出 B?A，進而得到a=1，或

a＞1 a＜3

，或

a＜1 a∈∅

，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：若p真，由

x-5

x-3

≥2⇒1≤x＜3，A=[1，3）．…（3分）
若q真，則（x-a）（x-1）≤0，記解集為B；當a=1時，B={1}．
當a＞1時，B=[1，a]；當a＜1時，B=[a，1]…（9分）
∵?q是?p的必要而不充分條件，∴?p⇒?q，即q⇒p，∴B?A．
∴a=1，或

a＞1 a＜3

，或 

a＜1 a∈∅

，
解得1≤a＜3，故a的取值范圍是[1，3）．…（13分）

點評：本題主要考查分式不等式的解法，充分條件、必要條件、充要條件的定義和判斷方法，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．