Question

5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，A（-3，-10），B （-2，-1），C（3，4），
（1）求邊AD和CD所在的直線方程；
（2）數列{a_n}的前項和為S_n，點（a_n，S_n）在直線CD上，求證{a_n}為等比數列．

Answer 1

分析 （1）利用兩點的坐標求出直線BC的斜率，再利用平行于垂直的關系，求直線AD、CD的方程；
（2）由（1）得a_n與S_n的遞推關系，再利用等比數列的定義證明{a_n}是等比數列．

解答 解：（1）如圖所示，
直角梯形ABCD中，B （-2，-1），C（3，4），
∴${k_{BC}}=\frac{4+1}{3+2}=1$，
又AD∥BC，∠ADC=90°，
∴k_AD=k_BC=1，${k_{CD}}=-\frac{1}{{{k_{BC}}}}=-1$；…（2分）
又 A（-3，-10），C（3，4），
∴邊AD所在的直線方程為y+10=x+3，即x-y-7=0；
邊CD所在的直線方程為y-4=-（x-3），即x+y-7=0；…（4分）
（2）由（1）得a_n+S_n-7=0，即S_n=7-a_n，①…（5分）
當n≥2時，S_n-1=7-a_n-1，②
①-②得，a_n=a_n-1-a_n，即${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，…（6分）
又當n=1時，S₁=7-a₁，解得${a_1}=\frac{7}{2}$，…（7分）
∴{a_n}是首項為$\frac{7}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列．         …（8分）

點評 本題考查了直線的方程與應用問題，也考查了等比數列的定義與應用問題，是綜合題．