Question

【題目】某精密儀器生產廠準備購買，，三種型號數控車床各一臺，已知這三臺車床均使用同一種易損件.在購進機器時，可以額外購買這種易損件作為備件，每個0.1萬元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個0.2萬元.現需要決策在購買機器時應同時購買幾個易損件，為此搜集并整理了三種型號各120臺車床在一年使用期內更換的易損零件數，得到如下統計表：

每臺車床在一年中更換易損件的件數		5	6	7
頻數	型號	60	60	0
	型號	30	60	30
	型號	0	80	40

將調查的每種型號車床在一年中更換的易損件的頻率視為概率，每臺車床在易損件的更換上相互獨立.

（Ⅰ）求一年中，，三種型號車床更換易損件的總數超過18件的概率；

（Ⅱ）以一年購買易損件所需總費用的數學期望為決策依據，問精密儀器生產廠在購買車床的同時應購買18件還是19件易損件？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）時應當購買18件易損件.

【解析】

（Ⅰ）由頻數表可得三種型號更換的易損件的概率，設一年中、、三種型號車床更換易損件分別為，，，三種型號車床更換易損件的總數為，利用相互獨立事件的概率分別求出和，由，從而得解；

（Ⅱ）由題可知，的可能取值為16，17，18，19，20，由對立事件的概率可知，由（Ⅰ）可知和，從而可得關于的分布列，然后分別求出購買18件和19件易損件的總費用的數學期望，比較大小后作出判斷即可．

解：（Ⅰ）由表中數據可得三種型號更換的易損件的概率（頻率）分布表為：

每臺車床在一年中更換易損件的件數		5	6	7
概率（頻率）	型號			0
	型號
	型號	0

設一年中，，三種型號車床更換易損件分別為，，，

三種型號車床更換易損件的總數為，

，

，

所以，

所以一年中，，三種型號車床更換易損件的總數超過18件的概率為.

（Ⅱ）由題意，所有可能取值為16，17，18，19，20，

由（Ⅰ）可知，

故的概率分布列為：

		19	20

設購買18件的總費用為，則的可能取值為1.8，2，2.2，

則萬元，

設購買19件的總費用為，則的可能取值為1.9，2.1，

則萬元，

，所以在購買車床的同時應當購買18件易損件.